알렉산더 다항식과 기본 아이디얼로 보는 매듭의 대수적 불변량

Abstract

삼차원 실수공간 또는 3차원 닫힌 구에 매장된 1차원 원을 매듭이라 한다. 이 논문에서는 매듭에 정의된 가장 고전적인 불변량인 매듭군과, 이 매듭군으로부터 대수적 과정을 통하여 정의되는 기본 아이디얼, 그리고 알렉산더 다항식에 대하여 다룬다. 특히, 어떤 성질을 만족하는 매듭들이 같은 알렉산더 다항식을 공유하는지, 그리고 이들을 기본 아이디얼로 구분할 수 있는지에 대해 다양한 매듭을 구체적으로 계산해 봄으로써 어떤 규칙성을 찾는다.|Knot is an embedded circle in a real 3-space R3 or a closed 3-dimensional sphere S3. In the article we studied knot group, a well known classical invariant of knot, Alexander matrix which is obtained from a finite group presentation of knot group via Fox’s free differential calculus and its elementary ideals and Alexander polynomial. Especially, we studied some conditions when two knots share the same Alexander polynomial or elementary ideals. Finally, we give several explicit computation of knot group, Alexander matrix, elementary ideals and Alexander polynomial for various family of knots.