모스 이론을 이용한 4차원 다양체에 관한 연구

Abstract

모스 이론을 통하여 다양체의 핸들바디 구성에 대하여 연구한다. 즉, 모스함수를 통해 매끄러운 다양체의 핸들바디를 구성하고, 같은 매끄러운 다양체에 주어지는 서로 다른 핸들바디를 통해 미분동형인 다양체에서 성립하는 핸들바디들 간의 관계들에 대하여 살펴본다. 이 결과는 두 다양체가 미분동형인가를 판단하는 좋은 수단이 된다. 먼저 일반적인 차원의 모스함수와 기본 용어를 정리하고 다양체에서 모스함수가 존재하는가에 대해 살펴볼 것이다. 그리고 모스함수를 이용하여 핸들바디를 어떻게 구성하는지 알아보고 모스함수를 변형하여 서로 다른 임계점에 대한 임계값을 다르게 줄 수 있음을 확인한다. 그리고 핸들바디를 다룰 수 있는 도구인 핸들 슬라이딩과 상쇄에 대해 알아본다. 마지막으로 모스이론을 이용하여 구성한 핸들바디의 예를 2차원, 3차원, 4차원에서 찾아보고 핸들바디 구조가 유일하게 존재하지 않음을 확인한다.