Fixed Points of Increasing Operators on Ordered Spaces

Abstract

순서집합(順序集合 ; ordered set)에서 증가연산자(增加演算子 ; increasing operator)의 부동점(不動點 ; fixed point)정리가 Zorn의 보조정리와 연관이 있으며, 극대원의 존재성과 밀접한 관계가 있음은 잘 알려진 사실이다.

1996년에 Fang [6]은 위로 순서완비반속(順序完備半束 ; order complete upper-semilattice)이 상한점열적(上限點列的 ; supremum sequentiable)일 때, 그 위에서 정의된 증가함수의 부동점정리를 증명하였고, 이것이 적분방정식의 해를 구하는 데 응용될 수 있음을 보였다.

이 논문에서 우리는 Fang과는 달리 일반 순서집합에서 상한점열적이라는 조건을 가정하지 않고 증가함수의 부동점정리가 성립함을 보였다. 또 순서가분거리공간 (順序可分距離空間 ; ordered separable metric space)이 상한점열적임을 보이고, 이를 이용하여 이 공간이 점별순서콤팩트(sequentially order compact)이면 완비반속(完備半束 ; complete semilattice)임을 보였다.

이 논문에서는 또 점별순서콤팩트인 순서가분집합에서의 증가함수의 부동점정리를 얻었다. 또한, 순서위상공간에서 혼합단조연산자(混合單調演算子 ; mixed monotone ope- rator)의 부동점정리를 증명하였다. |It is well-known that a fixed point theorem for increasing operators is deeply related to Zorn‘s lemma or the existence of maximal elements on ordered sets.

In 1996, Fang [6] proved a fixed point theorem for increasing operators on ordered complete upper-semilattices which are supremum sequentiable. Also he showed that his theorem could be applied to solve some integral equations.

In this paper, we showed a fixed point theorem for increasing operators on general ordered sets without assuming supremum sequentiability. Also we proved that an ordered separable metric space is supremum sequentiable. By using the above, we showed that if an ordered separable metric space is sequentially order compact, then it is a complete semilattice.

Moreover, we proved a coupled fixed point theorem for mixed monotone operators in ordered topological spaces.