Fixed Points Of Increasing Multivalued Map

Abstract

순서집합(順序輯合)에서의 부동점 이론(不東點 理論)은 Zermelo, Tarski 등에 의하여 연구되었다. 1908년에 Zermelo는 X가 모든 전순서 부분집합의 상계를 가지는 순서집합일 때, f : X → X 가 모든 x ∈ X에 대하여 x ≤ f(x)를 만족시키면 f는 부동점을 가진다는 사실을 증명하였고, 1955년에 Tarski는 완비속(完備束 - complete lattice)에서의 증가함수 부동점 정리를 증명하였다. Zermelo와 Tarski의 부동점 이론은 대수적이나 위상적인 조건이 없이 순수하게 일반 순서집합에서의 부동점을 다루었다는 점에서 의미가 있다. 함수의 부동점의 존재는 근본적으로 극대원(極大元)의 존재와 주어진 순서집합의 완비성(完備性) 과 관계가 있다. Smithson [11]은 1971년에 다가함수(多價函數 - multivalued function)의 증가, 감소를 정의하고 순서집합에서 다가함수의 부동점 정리를 증명한 바 있다. 그는 Zermelo와 Tarski의 결과를 다가함수에 대하여 일반화했다. 이 논문에서는 Carl과 Heikkila [2]가 증명한 다가함수의 부동점 정리의 다른 증명을 보인다. 또 순서가 주어진 제 2가산집합(oedered second countable space)에서는 Carl과 Heikkila의 조건을 가정하지 않고도 부동점 정리가 성립합을 보이고, 몇가지 다른 부동점 정리도 증명한다.|The fixed point theory on ordered sets have been studied by Zermelo, Tarski and others. In 1908, Zermelo proved that if X is a partially ordered set any of whose nonempty chain has an upper bound, then every funstion f : X → X satisfying x ≤ f(x), x ∈ X has a fixed point. And in 1955, Tarski proved that every increasing function defined on a complete lattice has a fixed point. The Zermelo and Tarski's fixed point theory is meaningful because they are only related to ordering stucture and independent of algebraic and topological structures. The existence of the fixed points of functions is basically related to the subsistence of maximal element and the completencess of given ordered sets. In 1971, Smithson defined the monotonicity of multivalued funstions and proved a fixed point theorem for multivalued function in ordered sets. He generalezed the Zermelo and Tarski's result. In this paper, we show another proof of the fixed point for multivalued functions gived by Carl and Heikkila [2]. And we prove some other fixed point theorems for multivalued functions on ordered second countable spaces.