Fixed Points of Functions on Partially Ordered Metric Spaces

Abstract

순서집합(ordered set)에서 자기함수(self-function)의 부동점정리(Fixed point theorem)는 Zermelo의 정리로 부터 시작되었다. Zermelo의 정리는 Zorn의 보조정리와 논리적으로 동치임은 잘 알려져 있는데, 이후로 많은 학자들이 순서집합에서 증가함수의 부동점의 존재에 흥미를 가지게 되었고, 순서집합에서의 극대원리와 부동점정리를 연계시키는 이론들이 나오게 되었다. 거리 공간에서는 Banach의 축소원리(Contraction Principle)는 1922년에발표되었는데, 미분방정식 등 해석학분야에 대한 풍부한 응용력이 있어서 여러 가지 방향으로 일반화되었다. 1976년에 Caristi는 주어진 함수에 연속성의 가정없이 완비 거리 공간에서 함수의 부동점정리를 증명하였다. Caristi는 그의 정리 증명에서 매우 복잡한 초한귀납법(transfinite induction)을 사용하였다. 2005년에 Nieto와 Lopez 는 제한된 영역에서 Banach형의 조건을 만족하는 연속 증가함수의 부동점정리를 증명하였는데, 그들의 증명은 함수의 반복열(iteration)의 수렴성을 이용하였다. 이 논문에서 우리는 주어진 함수의 연속을 가정하지 않고, Caristi형의 조건을 만족하는 증가함수에 대하여 Nieto와 Lopez의 부동점정리를 확장하였다. 또, Nieto와 Lopez의 조건 하에 몇 가지 다른 부동점정리를 증명하였다.|Fixed point theorems for functions on ordered sets are originated from the theorem of Zermelo. It is well-known that some maximal principles can be reformulated to fixed point theorems in ordered sets. Indeed, Zermelo's Theorem is logically equivalent to Zorn's Lemma. In metric spaces, the fixed point theorem generally known as the Banach's Contraction Principle appeared in 1922. In 1976, Caristi [2] proved a fixed point theorem for functions on complete metric spaces without assumming the continuity of given function. Caristi used very complicated transnite induction to prove his theorem. Since then, a lot of papers have been published to generalize or extend Banach's Contraction Principle and Caristi's fixed point Theorem. In 2005, Nieto and Lopez [10] prove a fixed point theorem for continuous increasing functions satisfying some Banach type conditions on some limited domain. He used the convergence of the iteration of given function to verify the existence of fixed point. In this paper, We will extend Nieto and Lopez's a fixed point theorem for increasing functions satisfying some Caristi type conditions without assumming the continuity. We will use a maximality principle to prove our theorem. Also we will show that another fixed point theorem under the condition given in Nieto and Lopez.