AN INTEGRALLY CLOSED DOMAIN Z[√2p]

Abstract

Let Z be a ring of integers and Q be a field of rational numbers. In this thesis, we study some properties of a ring Z[√2p] when p is an odd prime number. Let s = α+β√pq∈ Q√pq where , α, β∈ Q, p and q are distinct prime numbers. We prove that if s is integral over Z[√2p], and s ∈ Q√pq - Q, then s is a zero of x²+ax+b∈ Z[x]with a, b ∈ Z and β≠0, then a = -2α and b = α²-pqβ². Using the above result, we obtain that Z[√2p] is integrally closed.|Z가 정수환이고 Q를 유리수체라 하였을 때 홀수인 소수 p에 대해서 Z[√2p]의 성질을 연구하였다. p와 q가 서로 다른 소수이고 α와 β가 유리수일 때 s를 α+β √pq라 하였다. s가 Z[√pq]위에서 대수적이고 s가 유리수가 아 닐 때 s는 정수계수다항식 χ²+aχ+b의 해가된다. 또한 s가 χ²+aχ+b의 해이고 β≠0일 때 a=-2a??, b= a²+pqβ²이 된다. 이 러한 결과를 통하여 Z[√2p]가 대수적으로 닫혀있다는 것을 증명 하였다.